src/group_impl.h

   1 /**********************************************************************
   2  * Copyright (c) 2013, 2014 Pieter Wuille                             *
   3  * Distributed under the MIT software license, see the accompanying   *
   4  * file COPYING or http://www.opensource.org/licenses/mit-license.php.*
   5  **********************************************************************/
   6
   7 #ifndef SECP256K1_GROUP_IMPL_H
   8 #define SECP256K1_GROUP_IMPL_H
   9
  10 #include "num.h"
  11 #include "field.h"
  12 #include "group.h"
  13
  14 /* These points can be generated in sage as follows:
  15  *
  16  * 0. Setup a worksheet with the following parameters.
  17  *   b = 4  # whatever CURVE_B will be set to
  18  *   F = FiniteField (0xFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEFFFFFC2F)
  19  *   C = EllipticCurve ([F (0), F (b)])
  20  *
  21  * 1. Determine all the small orders available to you. (If there are
  22  *    no satisfactory ones, go back and change b.)
  23  *   print C.order().factor(limit=1000)
  24  *
  25  * 2. Choose an order as one of the prime factors listed in the above step.
  26  *    (You can also multiply some to get a composite order, though the
  27  *    tests will crash trying to invert scalars during signing.) We take a
  28  *    random point and scale it to drop its order to the desired value.
  29  *    There is some probability this won't work; just try again.
  30  *   order = 199
  31  *   P = C.random_point()
  32  *   P = (int(P.order()) / int(order)) * P
  33  *   assert(P.order() == order)
  34  *
  35  * 3. Print the values. You'll need to use a vim macro or something to
  36  *    split the hex output into 4-byte chunks.
  37  *   print "%x %x" % P.xy()
  38  */
  39 #if defined(EXHAUSTIVE_TEST_ORDER)
  40 #  if EXHAUSTIVE_TEST_ORDER == 199
  41 static const secp256k1_ge secp256k1_ge_const_g = SECP256K1_GE_CONST(
  42     0xFA7CC9A7, 0x0737F2DB, 0xA749DD39, 0x2B4FB069,
  43     0x3B017A7D, 0xA808C2F1, 0xFB12940C, 0x9EA66C18,
  44     0x78AC123A, 0x5ED8AEF3, 0x8732BC91, 0x1F3A2868,
  45     0x48DF246C, 0x808DAE72, 0xCFE52572, 0x7F0501ED
  46 );
  47
  48 static const int CURVE_B = 4;
  49 #  elif EXHAUSTIVE_TEST_ORDER == 13
  50 static const secp256k1_ge secp256k1_ge_const_g = SECP256K1_GE_CONST(
  51     0xedc60018, 0xa51a786b, 0x2ea91f4d, 0x4c9416c0,
  52     0x9de54c3b, 0xa1316554, 0x6cf4345c, 0x7277ef15,
  53     0x54cb1b6b, 0xdc8c1273, 0x087844ea, 0x43f4603e,
  54     0x0eaf9a43, 0xf6effe55, 0x939f806d, 0x37adf8ac
  55 );
  56 static const int CURVE_B = 2;
  57 #  else
  58 #    error No known generator for the specified exhaustive test group order.
  59 #  endif
  60 #else
  61 /** Generator for secp256k1, value 'g' defined in
  62  *  "Standards for Efficient Cryptography" (SEC2) 2.7.1.
  63  */
  64 static const secp256k1_ge secp256k1_ge_const_g = SECP256K1_GE_CONST(
  65     0x79BE667EUL, 0xF9DCBBACUL, 0x55A06295UL, 0xCE870B07UL,
  66     0x029BFCDBUL, 0x2DCE28D9UL, 0x59F2815BUL, 0x16F81798UL,
  67     0x483ADA77UL, 0x26A3C465UL, 0x5DA4FBFCUL, 0x0E1108A8UL,
  68     0xFD17B448UL, 0xA6855419UL, 0x9C47D08FUL, 0xFB10D4B8UL
  69 );
  70
  71 static const int CURVE_B = 7;
  72 #endif
  73
  74 static void secp256k1_ge_set_gej_zinv(secp256k1_ge *r, const secp256k1_gej *a, const secp256k1_fe *zi) {
  75     secp256k1_fe zi2;
  76     secp256k1_fe zi3;
  77     secp256k1_fe_sqr(&zi2, zi);
  78     secp256k1_fe_mul(&zi3, &zi2, zi);
  79     secp256k1_fe_mul(&r->x, &a->x, &zi2);
  80     secp256k1_fe_mul(&r->y, &a->y, &zi3);
  81     r->infinity = a->infinity;
  82 }
  83
  84 static void secp256k1_ge_set_xy(secp256k1_ge *r, const secp256k1_fe *x, const secp256k1_fe *y) {
  85     r->infinity = 0;
  86     r->x = *x;
  87     r->y = *y;
  88 }
  89
  90 static int secp256k1_ge_is_infinity(const secp256k1_ge *a) {
  91     return a->infinity;
  92 }
  93
  94 static void secp256k1_ge_neg(secp256k1_ge *r, const secp256k1_ge *a) {
  95     *r = *a;
  96     secp256k1_fe_normalize_weak(&r->y);
  97     secp256k1_fe_negate(&r->y, &r->y, 1);
  98 }
  99
 100 static void secp256k1_ge_set_gej(secp256k1_ge *r, secp256k1_gej *a) {
 101     secp256k1_fe z2, z3;
 102     r->infinity = a->infinity;
 103     secp256k1_fe_inv(&a->z, &a->z);
 104     secp256k1_fe_sqr(&z2, &a->z);
 105     secp256k1_fe_mul(&z3, &a->z, &z2);
 106     secp256k1_fe_mul(&a->x, &a->x, &z2);
 107     secp256k1_fe_mul(&a->y, &a->y, &z3);
 108     secp256k1_fe_set_int(&a->z, 1);
 109     r->x = a->x;
 110     r->y = a->y;
 111 }
 112
 113 static void secp256k1_ge_set_gej_var(secp256k1_ge *r, secp256k1_gej *a) {
 114     secp256k1_fe z2, z3;
 115     r->infinity = a->infinity;
 116     if (a->infinity) {
 117         return;
 118     }
 119     secp256k1_fe_inv_var(&a->z, &a->z);
 120     secp256k1_fe_sqr(&z2, &a->z);
 121     secp256k1_fe_mul(&z3, &a->z, &z2);
 122     secp256k1_fe_mul(&a->x, &a->x, &z2);
 123     secp256k1_fe_mul(&a->y, &a->y, &z3);
 124     secp256k1_fe_set_int(&a->z, 1);
 125     r->x = a->x;
 126     r->y = a->y;
 127 }
 128
 129 static void secp256k1_ge_set_all_gej_var(secp256k1_ge *r, const secp256k1_gej *a, size_t len) {
 130     secp256k1_fe u;
 131     size_t i;
 132     size_t last_i = SIZE_MAX;
 133
 134     for (i = 0; i < len; i++) {
 135         if (!a[i].infinity) {
 136             /* Use destination's x coordinates as scratch space */
 137             if (last_i == SIZE_MAX) {
 138                 r[i].x = a[i].z;
 139             } else {
 140                 secp256k1_fe_mul(&r[i].x, &r[last_i].x, &a[i].z);
 141             }
 142             last_i = i;
 143         }
 144     }
 145     if (last_i == SIZE_MAX) {
 146         return;
 147     }
 148     secp256k1_fe_inv_var(&u, &r[last_i].x);
 149
 150     i = last_i;
 151     while (i > 0) {
 152         i--;
 153         if (!a[i].infinity) {
 154             secp256k1_fe_mul(&r[last_i].x, &r[i].x, &u);
 155             secp256k1_fe_mul(&u, &u, &a[last_i].z);
 156             last_i = i;
 157         }
 158     }
 159     VERIFY_CHECK(!a[last_i].infinity);
 160     r[last_i].x = u;
 161
 162     for (i = 0; i < len; i++) {
 163         r[i].infinity = a[i].infinity;
 164         if (!a[i].infinity) {
 165             secp256k1_ge_set_gej_zinv(&r[i], &a[i], &r[i].x);
 166         }
 167     }
 168 }
 169
 170 static void secp256k1_ge_globalz_set_table_gej(size_t len, secp256k1_ge *r, secp256k1_fe *globalz, const secp256k1_gej *a, const secp256k1_fe *zr) {
 171     size_t i = len - 1;
 172     secp256k1_fe zs;
 173
 174     if (len > 0) {
 175         /* The z of the final point gives us the "global Z" for the table. */
 176         r[i].x = a[i].x;
 177         r[i].y = a[i].y;
 178         /* Ensure all y values are in weak normal form for fast negation of points */
 179         secp256k1_fe_normalize_weak(&r[i].y);
 180         *globalz = a[i].z;
 181         r[i].infinity = 0;
 182         zs = zr[i];
 183
 184         /* Work our way backwards, using the z-ratios to scale the x/y values. */
 185         while (i > 0) {
 186             if (i != len - 1) {
 187                 secp256k1_fe_mul(&zs, &zs, &zr[i]);
 188             }
 189             i--;
 190             secp256k1_ge_set_gej_zinv(&r[i], &a[i], &zs);
 191         }
 192     }
 193 }
 194
 195 static void secp256k1_gej_set_infinity(secp256k1_gej *r) {
 196     r->infinity = 1;
 197     secp256k1_fe_clear(&r->x);
 198     secp256k1_fe_clear(&r->y);
 199     secp256k1_fe_clear(&r->z);
 200 }
 201
 202 static void secp256k1_ge_set_infinity(secp256k1_ge *r) {
 203     r->infinity = 1;
 204     secp256k1_fe_clear(&r->x);
 205     secp256k1_fe_clear(&r->y);
 206 }
 207
 208 static void secp256k1_gej_clear(secp256k1_gej *r) {
 209     r->infinity = 0;
 210     secp256k1_fe_clear(&r->x);
 211     secp256k1_fe_clear(&r->y);
 212     secp256k1_fe_clear(&r->z);
 213 }
 214
 215 static void secp256k1_ge_clear(secp256k1_ge *r) {
 216     r->infinity = 0;
 217     secp256k1_fe_clear(&r->x);
 218     secp256k1_fe_clear(&r->y);
 219 }
 220
 221 static int secp256k1_ge_set_xquad(secp256k1_ge *r, const secp256k1_fe *x) {
 222     secp256k1_fe x2, x3, c;
 223     r->x = *x;
 224     secp256k1_fe_sqr(&x2, x);
 225     secp256k1_fe_mul(&x3, x, &x2);
 226     r->infinity = 0;
 227     secp256k1_fe_set_int(&c, CURVE_B);
 228     secp256k1_fe_add(&c, &x3);
 229     return secp256k1_fe_sqrt(&r->y, &c);
 230 }
 231
 232 static int secp256k1_ge_set_xo_var(secp256k1_ge *r, const secp256k1_fe *x, int odd) {
 233     if (!secp256k1_ge_set_xquad(r, x)) {
 234         return 0;
 235     }
 236     secp256k1_fe_normalize_var(&r->y);
 237     if (secp256k1_fe_is_odd(&r->y) != odd) {
 238         secp256k1_fe_negate(&r->y, &r->y, 1);
 239     }
 240     return 1;
 241
 242 }
 243
 244 static void secp256k1_gej_set_ge(secp256k1_gej *r, const secp256k1_ge *a) {
 245    r->infinity = a->infinity;
 246    r->x = a->x;
 247    r->y = a->y;
 248    secp256k1_fe_set_int(&r->z, 1);
 249 }
 250
 251 static int secp256k1_gej_eq_x_var(const secp256k1_fe *x, const secp256k1_gej *a) {
 252     secp256k1_fe r, r2;
 253     VERIFY_CHECK(!a->infinity);
 254     secp256k1_fe_sqr(&r, &a->z); secp256k1_fe_mul(&r, &r, x);
 255     r2 = a->x; secp256k1_fe_normalize_weak(&r2);
 256     return secp256k1_fe_equal_var(&r, &r2);
 257 }
 258
 259 static void secp256k1_gej_neg(secp256k1_gej *r, const secp256k1_gej *a) {
 260     r->infinity = a->infinity;
 261     r->x = a->x;
 262     r->y = a->y;
 263     r->z = a->z;
 264     secp256k1_fe_normalize_weak(&r->y);
 265     secp256k1_fe_negate(&r->y, &r->y, 1);
 266 }
 267
 268 static int secp256k1_gej_is_infinity(const secp256k1_gej *a) {
 269     return a->infinity;
 270 }
 271
 272 static int secp256k1_gej_is_valid_var(const secp256k1_gej *a) {
 273     secp256k1_fe y2, x3, z2, z6;
 274     if (a->infinity) {
 275         return 0;
 276     }
 277     /** y^2 = x^3 + 7
 278      *  (Y/Z^3)^2 = (X/Z^2)^3 + 7
 279      *  Y^2 / Z^6 = X^3 / Z^6 + 7
 280      *  Y^2 = X^3 + 7*Z^6
 281      */
 282     secp256k1_fe_sqr(&y2, &a->y);
 283     secp256k1_fe_sqr(&x3, &a->x); secp256k1_fe_mul(&x3, &x3, &a->x);
 284     secp256k1_fe_sqr(&z2, &a->z);
 285     secp256k1_fe_sqr(&z6, &z2); secp256k1_fe_mul(&z6, &z6, &z2);
 286     secp256k1_fe_mul_int(&z6, CURVE_B);
 287     secp256k1_fe_add(&x3, &z6);
 288     secp256k1_fe_normalize_weak(&x3);
 289     return secp256k1_fe_equal_var(&y2, &x3);
 290 }
 291
 292 static int secp256k1_ge_is_valid_var(const secp256k1_ge *a) {
 293     secp256k1_fe y2, x3, c;
 294     if (a->infinity) {
 295         return 0;
 296     }
 297     /* y^2 = x^3 + 7 */
 298     secp256k1_fe_sqr(&y2, &a->y);
 299     secp256k1_fe_sqr(&x3, &a->x); secp256k1_fe_mul(&x3, &x3, &a->x);
 300     secp256k1_fe_set_int(&c, CURVE_B);
 301     secp256k1_fe_add(&x3, &c);
 302     secp256k1_fe_normalize_weak(&x3);
 303     return secp256k1_fe_equal_var(&y2, &x3);
 304 }
 305
 306 static void secp256k1_gej_double_var(secp256k1_gej *r, const secp256k1_gej *a, secp256k1_fe *rzr) {
 307     /* Operations: 3 mul, 4 sqr, 0 normalize, 12 mul_int/add/negate.
 308      *
 309      * Note that there is an implementation described at
 310      *     https://hyperelliptic.org/EFD/g1p/auto-shortw-jacobian-0.html#doubling-dbl-2009-l
 311      * which trades a multiply for a square, but in practice this is actually slower,
 312      * mainly because it requires more normalizations.
 313      */
 314     secp256k1_fe t1,t2,t3,t4;
 315     /** For secp256k1, 2Q is infinity if and only if Q is infinity. This is because if 2Q = infinity,
 316      *  Q must equal -Q, or that Q.y == -(Q.y), or Q.y is 0. For a point on y^2 = x^3 + 7 to have
 317      *  y=0, x^3 must be -7 mod p. However, -7 has no cube root mod p.
 318      *
 319      *  Having said this, if this function receives a point on a sextic twist, e.g. by
 320      *  a fault attack, it is possible for y to be 0. This happens for y^2 = x^3 + 6,
 321      *  since -6 does have a cube root mod p. For this point, this function will not set
 322      *  the infinity flag even though the point doubles to infinity, and the result
 323      *  point will be gibberish (z = 0 but infinity = 0).
 324      */
 325     r->infinity = a->infinity;
 326     if (r->infinity) {
 327         if (rzr != NULL) {
 328             secp256k1_fe_set_int(rzr, 1);
 329         }
 330         return;
 331     }
 332
 333     if (rzr != NULL) {
 334         *rzr = a->y;
 335         secp256k1_fe_normalize_weak(rzr);
 336         secp256k1_fe_mul_int(rzr, 2);
 337     }
 338
 339     secp256k1_fe_mul(&r->z, &a->z, &a->y);
 340     secp256k1_fe_mul_int(&r->z, 2);       /* Z' = 2*Y*Z (2) */
 341     secp256k1_fe_sqr(&t1, &a->x);
 342     secp256k1_fe_mul_int(&t1, 3);         /* T1 = 3*X^2 (3) */
 343     secp256k1_fe_sqr(&t2, &t1);           /* T2 = 9*X^4 (1) */
 344     secp256k1_fe_sqr(&t3, &a->y);
 345     secp256k1_fe_mul_int(&t3, 2);         /* T3 = 2*Y^2 (2) */
 346     secp256k1_fe_sqr(&t4, &t3);
 347     secp256k1_fe_mul_int(&t4, 2);         /* T4 = 8*Y^4 (2) */
 348     secp256k1_fe_mul(&t3, &t3, &a->x);    /* T3 = 2*X*Y^2 (1) */
 349     r->x = t3;
 350     secp256k1_fe_mul_int(&r->x, 4);       /* X' = 8*X*Y^2 (4) */
 351     secp256k1_fe_negate(&r->x, &r->x, 4); /* X' = -8*X*Y^2 (5) */
 352     secp256k1_fe_add(&r->x, &t2);         /* X' = 9*X^4 - 8*X*Y^2 (6) */
 353     secp256k1_fe_negate(&t2, &t2, 1);     /* T2 = -9*X^4 (2) */
 354     secp256k1_fe_mul_int(&t3, 6);         /* T3 = 12*X*Y^2 (6) */
 355     secp256k1_fe_add(&t3, &t2);           /* T3 = 12*X*Y^2 - 9*X^4 (8) */
 356     secp256k1_fe_mul(&r->y, &t1, &t3);    /* Y' = 36*X^3*Y^2 - 27*X^6 (1) */
 357     secp256k1_fe_negate(&t2, &t4, 2);     /* T2 = -8*Y^4 (3) */
 358     secp256k1_fe_add(&r->y, &t2);         /* Y' = 36*X^3*Y^2 - 27*X^6 - 8*Y^4 (4) */
 359 }
 360
 361 static SECP256K1_INLINE void secp256k1_gej_double_nonzero(secp256k1_gej *r, const secp256k1_gej *a, secp256k1_fe *rzr) {
 362     VERIFY_CHECK(!secp256k1_gej_is_infinity(a));
 363     secp256k1_gej_double_var(r, a, rzr);
 364 }
 365
 366 static void secp256k1_gej_add_var(secp256k1_gej *r, const secp256k1_gej *a, const secp256k1_gej *b, secp256k1_fe *rzr) {
 367     /* Operations: 12 mul, 4 sqr, 2 normalize, 12 mul_int/add/negate */
 368     secp256k1_fe z22, z12, u1, u2, s1, s2, h, i, i2, h2, h3, t;
 369
 370     if (a->infinity) {
 371         VERIFY_CHECK(rzr == NULL);
 372         *r = *b;
 373         return;
 374     }
 375
 376     if (b->infinity) {
 377         if (rzr != NULL) {
 378             secp256k1_fe_set_int(rzr, 1);
 379         }
 380         *r = *a;
 381         return;
 382     }
 383
 384     r->infinity = 0;
 385     secp256k1_fe_sqr(&z22, &b->z);
 386     secp256k1_fe_sqr(&z12, &a->z);
 387     secp256k1_fe_mul(&u1, &a->x, &z22);
 388     secp256k1_fe_mul(&u2, &b->x, &z12);
 389     secp256k1_fe_mul(&s1, &a->y, &z22); secp256k1_fe_mul(&s1, &s1, &b->z);
 390     secp256k1_fe_mul(&s2, &b->y, &z12); secp256k1_fe_mul(&s2, &s2, &a->z);
 391     secp256k1_fe_negate(&h, &u1, 1); secp256k1_fe_add(&h, &u2);
 392     secp256k1_fe_negate(&i, &s1, 1); secp256k1_fe_add(&i, &s2);
 393     if (secp256k1_fe_normalizes_to_zero_var(&h)) {
 394         if (secp256k1_fe_normalizes_to_zero_var(&i)) {
 395             secp256k1_gej_double_var(r, a, rzr);
 396         } else {
 397             if (rzr != NULL) {
 398                 secp256k1_fe_set_int(rzr, 0);
 399             }
 400             r->infinity = 1;
 401         }
 402         return;
 403     }
 404     secp256k1_fe_sqr(&i2, &i);
 405     secp256k1_fe_sqr(&h2, &h);
 406     secp256k1_fe_mul(&h3, &h, &h2);
 407     secp256k1_fe_mul(&h, &h, &b->z);
 408     if (rzr != NULL) {
 409         *rzr = h;
 410     }
 411     secp256k1_fe_mul(&r->z, &a->z, &h);
 412     secp256k1_fe_mul(&t, &u1, &h2);
 413     r->x = t; secp256k1_fe_mul_int(&r->x, 2); secp256k1_fe_add(&r->x, &h3); secp256k1_fe_negate(&r->x, &r->x, 3); secp256k1_fe_add(&r->x, &i2);
 414     secp256k1_fe_negate(&r->y, &r->x, 5); secp256k1_fe_add(&r->y, &t); secp256k1_fe_mul(&r->y, &r->y, &i);
 415     secp256k1_fe_mul(&h3, &h3, &s1); secp256k1_fe_negate(&h3, &h3, 1);
 416     secp256k1_fe_add(&r->y, &h3);
 417 }
 418
 419 static void secp256k1_gej_add_ge_var(secp256k1_gej *r, const secp256k1_gej *a, const secp256k1_ge *b, secp256k1_fe *rzr) {
 420     /* 8 mul, 3 sqr, 4 normalize, 12 mul_int/add/negate */
 421     secp256k1_fe z12, u1, u2, s1, s2, h, i, i2, h2, h3, t;
 422     if (a->infinity) {
 423         VERIFY_CHECK(rzr == NULL);
 424         secp256k1_gej_set_ge(r, b);
 425         return;
 426     }
 427     if (b->infinity) {
 428         if (rzr != NULL) {
 429             secp256k1_fe_set_int(rzr, 1);
 430         }
 431         *r = *a;
 432         return;
 433     }
 434     r->infinity = 0;
 435
 436     secp256k1_fe_sqr(&z12, &a->z);
 437     u1 = a->x; secp256k1_fe_normalize_weak(&u1);
 438     secp256k1_fe_mul(&u2, &b->x, &z12);
 439     s1 = a->y; secp256k1_fe_normalize_weak(&s1);
 440     secp256k1_fe_mul(&s2, &b->y, &z12); secp256k1_fe_mul(&s2, &s2, &a->z);
 441     secp256k1_fe_negate(&h, &u1, 1); secp256k1_fe_add(&h, &u2);
 442     secp256k1_fe_negate(&i, &s1, 1); secp256k1_fe_add(&i, &s2);
 443     if (secp256k1_fe_normalizes_to_zero_var(&h)) {
 444         if (secp256k1_fe_normalizes_to_zero_var(&i)) {
 445             secp256k1_gej_double_var(r, a, rzr);
 446         } else {
 447             if (rzr != NULL) {
 448                 secp256k1_fe_set_int(rzr, 0);
 449             }
 450             r->infinity = 1;
 451         }
 452         return;
 453     }
 454     secp256k1_fe_sqr(&i2, &i);
 455     secp256k1_fe_sqr(&h2, &h);
 456     secp256k1_fe_mul(&h3, &h, &h2);
 457     if (rzr != NULL) {
 458         *rzr = h;
 459     }
 460     secp256k1_fe_mul(&r->z, &a->z, &h);
 461     secp256k1_fe_mul(&t, &u1, &h2);
 462     r->x = t; secp256k1_fe_mul_int(&r->x, 2); secp256k1_fe_add(&r->x, &h3); secp256k1_fe_negate(&r->x, &r->x, 3); secp256k1_fe_add(&r->x, &i2);
 463     secp256k1_fe_negate(&r->y, &r->x, 5); secp256k1_fe_add(&r->y, &t); secp256k1_fe_mul(&r->y, &r->y, &i);
 464     secp256k1_fe_mul(&h3, &h3, &s1); secp256k1_fe_negate(&h3, &h3, 1);
 465     secp256k1_fe_add(&r->y, &h3);
 466 }
 467
 468 static void secp256k1_gej_add_zinv_var(secp256k1_gej *r, const secp256k1_gej *a, const secp256k1_ge *b, const secp256k1_fe *bzinv) {
 469     /* 9 mul, 3 sqr, 4 normalize, 12 mul_int/add/negate */
 470     secp256k1_fe az, z12, u1, u2, s1, s2, h, i, i2, h2, h3, t;
 471
 472     if (b->infinity) {
 473         *r = *a;
 474         return;
 475     }
 476     if (a->infinity) {
 477         secp256k1_fe bzinv2, bzinv3;
 478         r->infinity = b->infinity;
 479         secp256k1_fe_sqr(&bzinv2, bzinv);
 480         secp256k1_fe_mul(&bzinv3, &bzinv2, bzinv);
 481         secp256k1_fe_mul(&r->x, &b->x, &bzinv2);
 482         secp256k1_fe_mul(&r->y, &b->y, &bzinv3);
 483         secp256k1_fe_set_int(&r->z, 1);
 484         return;
 485     }
 486     r->infinity = 0;
 487
 488     /** We need to calculate (rx,ry,rz) = (ax,ay,az) + (bx,by,1/bzinv). Due to
 489      *  secp256k1's isomorphism we can multiply the Z coordinates on both sides
 490      *  by bzinv, and get: (rx,ry,rz*bzinv) = (ax,ay,az*bzinv) + (bx,by,1).
 491      *  This means that (rx,ry,rz) can be calculated as
 492      *  (ax,ay,az*bzinv) + (bx,by,1), when not applying the bzinv factor to rz.
 493      *  The variable az below holds the modified Z coordinate for a, which is used
 494      *  for the computation of rx and ry, but not for rz.
 495      */
 496     secp256k1_fe_mul(&az, &a->z, bzinv);
 497
 498     secp256k1_fe_sqr(&z12, &az);
 499     u1 = a->x; secp256k1_fe_normalize_weak(&u1);
 500     secp256k1_fe_mul(&u2, &b->x, &z12);
 501     s1 = a->y; secp256k1_fe_normalize_weak(&s1);
 502     secp256k1_fe_mul(&s2, &b->y, &z12); secp256k1_fe_mul(&s2, &s2, &az);
 503     secp256k1_fe_negate(&h, &u1, 1); secp256k1_fe_add(&h, &u2);
 504     secp256k1_fe_negate(&i, &s1, 1); secp256k1_fe_add(&i, &s2);
 505     if (secp256k1_fe_normalizes_to_zero_var(&h)) {
 506         if (secp256k1_fe_normalizes_to_zero_var(&i)) {
 507             secp256k1_gej_double_var(r, a, NULL);
 508         } else {
 509             r->infinity = 1;
 510         }
 511         return;
 512     }
 513     secp256k1_fe_sqr(&i2, &i);
 514     secp256k1_fe_sqr(&h2, &h);
 515     secp256k1_fe_mul(&h3, &h, &h2);
 516     r->z = a->z; secp256k1_fe_mul(&r->z, &r->z, &h);
 517     secp256k1_fe_mul(&t, &u1, &h2);
 518     r->x = t; secp256k1_fe_mul_int(&r->x, 2); secp256k1_fe_add(&r->x, &h3); secp256k1_fe_negate(&r->x, &r->x, 3); secp256k1_fe_add(&r->x, &i2);
 519     secp256k1_fe_negate(&r->y, &r->x, 5); secp256k1_fe_add(&r->y, &t); secp256k1_fe_mul(&r->y, &r->y, &i);
 520     secp256k1_fe_mul(&h3, &h3, &s1); secp256k1_fe_negate(&h3, &h3, 1);
 521     secp256k1_fe_add(&r->y, &h3);
 522 }
 523
 524
 525 static void secp256k1_gej_add_ge(secp256k1_gej *r, const secp256k1_gej *a, const secp256k1_ge *b) {
 526     /* Operations: 7 mul, 5 sqr, 4 normalize, 21 mul_int/add/negate/cmov */
 527     static const secp256k1_fe fe_1 = SECP256K1_FE_CONST(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1);
 528     secp256k1_fe zz, u1, u2, s1, s2, t, tt, m, n, q, rr;
 529     secp256k1_fe m_alt, rr_alt;
 530     int infinity, degenerate;
 531     VERIFY_CHECK(!b->infinity);
 532     VERIFY_CHECK(a->infinity == 0 || a->infinity == 1);
 533
 534     /** In:
 535      *    Eric Brier and Marc Joye, Weierstrass Elliptic Curves and Side-Channel Attacks.
 536      *    In D. Naccache and P. Paillier, Eds., Public Key Cryptography, vol. 2274 of Lecture Notes in Computer Science, pages 335-345. Springer-Verlag, 2002.
 537      *  we find as solution for a unified addition/doubling formula:
 538      *    lambda = ((x1 + x2)^2 - x1 * x2 + a) / (y1 + y2), with a = 0 for secp256k1's curve equation.
 539      *    x3 = lambda^2 - (x1 + x2)
 540      *    2*y3 = lambda * (x1 + x2 - 2 * x3) - (y1 + y2).
 541      *
 542      *  Substituting x_i = Xi / Zi^2 and yi = Yi / Zi^3, for i=1,2,3, gives:
 543      *    U1 = X1*Z2^2, U2 = X2*Z1^2
 544      *    S1 = Y1*Z2^3, S2 = Y2*Z1^3
 545      *    Z = Z1*Z2
 546      *    T = U1+U2
 547      *    M = S1+S2
 548      *    Q = T*M^2
 549      *    R = T^2-U1*U2
 550      *    X3 = 4*(R^2-Q)
 551      *    Y3 = 4*(R*(3*Q-2*R^2)-M^4)
 552      *    Z3 = 2*M*Z
 553      *  (Note that the paper uses xi = Xi / Zi and yi = Yi / Zi instead.)
 554      *
 555      *  This formula has the benefit of being the same for both addition
 556      *  of distinct points and doubling. However, it breaks down in the
 557      *  case that either point is infinity, or that y1 = -y2. We handle
 558      *  these cases in the following ways:
 559      *
 560      *    - If b is infinity we simply bail by means of a VERIFY_CHECK.
 561      *
 562      *    - If a is infinity, we detect this, and at the end of the
 563      *      computation replace the result (which will be meaningless,
 564      *      but we compute to be constant-time) with b.x : b.y : 1.
 565      *
 566      *    - If a = -b, we have y1 = -y2, which is a degenerate case.
 567      *      But here the answer is infinity, so we simply set the
 568      *      infinity flag of the result, overriding the computed values
 569      *      without even needing to cmov.
 570      *
 571      *    - If y1 = -y2 but x1 != x2, which does occur thanks to certain
 572      *      properties of our curve (specifically, 1 has nontrivial cube
 573      *      roots in our field, and the curve equation has no x coefficient)
 574      *      then the answer is not infinity but also not given by the above
 575      *      equation. In this case, we cmov in place an alternate expression
 576      *      for lambda. Specifically (y1 - y2)/(x1 - x2). Where both these
 577      *      expressions for lambda are defined, they are equal, and can be
 578      *      obtained from each other by multiplication by (y1 + y2)/(y1 + y2)
 579      *      then substitution of x^3 + 7 for y^2 (using the curve equation).
 580      *      For all pairs of nonzero points (a, b) at least one is defined,
 581      *      so this covers everything.
 582      */
 583
 584     secp256k1_fe_sqr(&zz, &a->z);                       /* z = Z1^2 */
 585     u1 = a->x; secp256k1_fe_normalize_weak(&u1);        /* u1 = U1 = X1*Z2^2 (1) */
 586     secp256k1_fe_mul(&u2, &b->x, &zz);                  /* u2 = U2 = X2*Z1^2 (1) */
 587     s1 = a->y; secp256k1_fe_normalize_weak(&s1);        /* s1 = S1 = Y1*Z2^3 (1) */
 588     secp256k1_fe_mul(&s2, &b->y, &zz);                  /* s2 = Y2*Z1^2 (1) */
 589     secp256k1_fe_mul(&s2, &s2, &a->z);                  /* s2 = S2 = Y2*Z1^3 (1) */
 590     t = u1; secp256k1_fe_add(&t, &u2);                  /* t = T = U1+U2 (2) */
 591     m = s1; secp256k1_fe_add(&m, &s2);                  /* m = M = S1+S2 (2) */
 592     secp256k1_fe_sqr(&rr, &t);                          /* rr = T^2 (1) */
 593     secp256k1_fe_negate(&m_alt, &u2, 1);                /* Malt = -X2*Z1^2 */
 594     secp256k1_fe_mul(&tt, &u1, &m_alt);                 /* tt = -U1*U2 (2) */
 595     secp256k1_fe_add(&rr, &tt);                         /* rr = R = T^2-U1*U2 (3) */
 596     /** If lambda = R/M = 0/0 we have a problem (except in the "trivial"
 597      *  case that Z = z1z2 = 0, and this is special-cased later on). */
 598     degenerate = secp256k1_fe_normalizes_to_zero(&m) &
 599                  secp256k1_fe_normalizes_to_zero(&rr);
 600     /* This only occurs when y1 == -y2 and x1^3 == x2^3, but x1 != x2.
 601      * This means either x1 == beta*x2 or beta*x1 == x2, where beta is
 602      * a nontrivial cube root of one. In either case, an alternate
 603      * non-indeterminate expression for lambda is (y1 - y2)/(x1 - x2),
 604      * so we set R/M equal to this. */
 605     rr_alt = s1;
 606     secp256k1_fe_mul_int(&rr_alt, 2);       /* rr = Y1*Z2^3 - Y2*Z1^3 (2) */
 607     secp256k1_fe_add(&m_alt, &u1);          /* Malt = X1*Z2^2 - X2*Z1^2 */
 608
 609     secp256k1_fe_cmov(&rr_alt, &rr, !degenerate);
 610     secp256k1_fe_cmov(&m_alt, &m, !degenerate);
 611     /* Now Ralt / Malt = lambda and is guaranteed not to be 0/0.
 612      * From here on out Ralt and Malt represent the numerator
 613      * and denominator of lambda; R and M represent the explicit
 614      * expressions x1^2 + x2^2 + x1x2 and y1 + y2. */
 615     secp256k1_fe_sqr(&n, &m_alt);                       /* n = Malt^2 (1) */
 616     secp256k1_fe_mul(&q, &n, &t);                       /* q = Q = T*Malt^2 (1) */
 617     /* These two lines use the observation that either M == Malt or M == 0,
 618      * so M^3 * Malt is either Malt^4 (which is computed by squaring), or
 619      * zero (which is "computed" by cmov). So the cost is one squaring
 620      * versus two multiplications. */
 621     secp256k1_fe_sqr(&n, &n);
 622     secp256k1_fe_cmov(&n, &m, degenerate);              /* n = M^3 * Malt (2) */
 623     secp256k1_fe_sqr(&t, &rr_alt);                      /* t = Ralt^2 (1) */
 624     secp256k1_fe_mul(&r->z, &a->z, &m_alt);             /* r->z = Malt*Z (1) */
 625     infinity = secp256k1_fe_normalizes_to_zero(&r->z) * (1 - a->infinity);
 626     secp256k1_fe_mul_int(&r->z, 2);                     /* r->z = Z3 = 2*Malt*Z (2) */
 627     secp256k1_fe_negate(&q, &q, 1);                     /* q = -Q (2) */
 628     secp256k1_fe_add(&t, &q);                           /* t = Ralt^2-Q (3) */
 629     secp256k1_fe_normalize_weak(&t);
 630     r->x = t;                                           /* r->x = Ralt^2-Q (1) */
 631     secp256k1_fe_mul_int(&t, 2);                        /* t = 2*x3 (2) */
 632     secp256k1_fe_add(&t, &q);                           /* t = 2*x3 - Q: (4) */
 633     secp256k1_fe_mul(&t, &t, &rr_alt);                  /* t = Ralt*(2*x3 - Q) (1) */
 634     secp256k1_fe_add(&t, &n);                           /* t = Ralt*(2*x3 - Q) + M^3*Malt (3) */
 635     secp256k1_fe_negate(&r->y, &t, 3);                  /* r->y = Ralt*(Q - 2x3) - M^3*Malt (4) */
 636     secp256k1_fe_normalize_weak(&r->y);
 637     secp256k1_fe_mul_int(&r->x, 4);                     /* r->x = X3 = 4*(Ralt^2-Q) */
 638     secp256k1_fe_mul_int(&r->y, 4);                     /* r->y = Y3 = 4*Ralt*(Q - 2x3) - 4*M^3*Malt (4) */
 639
 640     /** In case a->infinity == 1, replace r with (b->x, b->y, 1). */
 641     secp256k1_fe_cmov(&r->x, &b->x, a->infinity);
 642     secp256k1_fe_cmov(&r->y, &b->y, a->infinity);
 643     secp256k1_fe_cmov(&r->z, &fe_1, a->infinity);
 644     r->infinity = infinity;
 645 }
 646
 647 static void secp256k1_gej_rescale(secp256k1_gej *r, const secp256k1_fe *s) {
 648     /* Operations: 4 mul, 1 sqr */
 649     secp256k1_fe zz;
 650     VERIFY_CHECK(!secp256k1_fe_is_zero(s));
 651     secp256k1_fe_sqr(&zz, s);
 652     secp256k1_fe_mul(&r->x, &r->x, &zz);                /* r->x *= s^2 */
 653     secp256k1_fe_mul(&r->y, &r->y, &zz);
 654     secp256k1_fe_mul(&r->y, &r->y, s);                  /* r->y *= s^3 */
 655     secp256k1_fe_mul(&r->z, &r->z, s);                  /* r->z *= s   */
 656 }
 657
 658 static void secp256k1_ge_to_storage(secp256k1_ge_storage *r, const secp256k1_ge *a) {
 659     secp256k1_fe x, y;
 660     VERIFY_CHECK(!a->infinity);
 661     x = a->x;
 662     secp256k1_fe_normalize(&x);
 663     y = a->y;
 664     secp256k1_fe_normalize(&y);
 665     secp256k1_fe_to_storage(&r->x, &x);
 666     secp256k1_fe_to_storage(&r->y, &y);
 667 }
 668
 669 static void secp256k1_ge_from_storage(secp256k1_ge *r, const secp256k1_ge_storage *a) {
 670     secp256k1_fe_from_storage(&r->x, &a->x);
 671     secp256k1_fe_from_storage(&r->y, &a->y);
 672     r->infinity = 0;
 673 }
 674
 675 static SECP256K1_INLINE void secp256k1_ge_storage_cmov(secp256k1_ge_storage *r, const secp256k1_ge_storage *a, int flag) {
 676     secp256k1_fe_storage_cmov(&r->x, &a->x, flag);
 677     secp256k1_fe_storage_cmov(&r->y, &a->y, flag);
 678 }
 679
 680 #ifdef USE_ENDOMORPHISM
 681 static void secp256k1_ge_mul_lambda(secp256k1_ge *r, const secp256k1_ge *a) {
 682     static const secp256k1_fe beta = SECP256K1_FE_CONST(
 683         0x7ae96a2bul, 0x657c0710ul, 0x6e64479eul, 0xac3434e9ul,
 684         0x9cf04975ul, 0x12f58995ul, 0xc1396c28ul, 0x719501eeul
 685     );
 686     *r = *a;
 687     secp256k1_fe_mul(&r->x, &r->x, &beta);
 688 }
 689 #endif
 690
 691 static int secp256k1_gej_has_quad_y_var(const secp256k1_gej *a) {
 692     secp256k1_fe yz;
 693
 694     if (a->infinity) {
 695         return 0;
 696     }
 697
 698     /* We rely on the fact that the Jacobi symbol of 1 / a->z^3 is the same as
 699      * that of a->z. Thus a->y / a->z^3 is a quadratic residue iff a->y * a->z
 700        is */
 701     secp256k1_fe_mul(&yz, &a->y, &a->z);
 702     return secp256k1_fe_is_quad_var(&yz);
 703 }
 704
 705 #endif /* SECP256K1_GROUP_IMPL_H */