src/group_impl.h

   1 /**********************************************************************
   2  * Copyright (c) 2013, 2014 Pieter Wuille                             *
   3  * Distributed under the MIT software license, see the accompanying   *
   4  * file COPYING or http://www.opensource.org/licenses/mit-license.php.*
   5  **********************************************************************/
   6
   7 #ifndef SECP256K1_GROUP_IMPL_H
   8 #define SECP256K1_GROUP_IMPL_H
   9
  10 #include "num.h"
  11 #include "field.h"
  12 #include "group.h"
  13
  14 /* These exhaustive group test orders and generators are chosen such that:
  15  * - The field size is equal to that of secp256k1, so field code is the same.
  16  * - The curve equation is of the form y^2=x^3+B for some constant B.
  17  * - The subgroup has a generator 2*P, where P.x=1.
  18  * - The subgroup has size less than 1000 to permit exhaustive testing.
  19  * - The subgroup admits an endomorphism of the form lambda*(x,y) == (beta*x,y).
  20  *
  21  * These parameters are generated using sage/gen_exhaustive_groups.sage.
  22  */
  23 #if defined(EXHAUSTIVE_TEST_ORDER)
  24 #  if EXHAUSTIVE_TEST_ORDER == 13
  25 static const secp256k1_ge secp256k1_ge_const_g = SECP256K1_GE_CONST(
  26     0xc3459c3d, 0x35326167, 0xcd86cce8, 0x07a2417f,
  27     0x5b8bd567, 0xde8538ee, 0x0d507b0c, 0xd128f5bb,
  28     0x8e467fec, 0xcd30000a, 0x6cc1184e, 0x25d382c2,
  29     0xa2f4494e, 0x2fbe9abc, 0x8b64abac, 0xd005fb24
  30 );
  31 static const secp256k1_fe secp256k1_fe_const_b = SECP256K1_FE_CONST(
  32     0x3d3486b2, 0x159a9ca5, 0xc75638be, 0xb23a69bc,
  33     0x946a45ab, 0x24801247, 0xb4ed2b8e, 0x26b6a417
  34 );
  35 #  elif EXHAUSTIVE_TEST_ORDER == 199
  36 static const secp256k1_ge secp256k1_ge_const_g = SECP256K1_GE_CONST(
  37     0x226e653f, 0xc8df7744, 0x9bacbf12, 0x7d1dcbf9,
  38     0x87f05b2a, 0xe7edbd28, 0x1f564575, 0xc48dcf18,
  39     0xa13872c2, 0xe933bb17, 0x5d9ffd5b, 0xb5b6e10c,
  40     0x57fe3c00, 0xbaaaa15a, 0xe003ec3e, 0x9c269bae
  41 );
  42 static const secp256k1_fe secp256k1_fe_const_b = SECP256K1_FE_CONST(
  43     0x2cca28fa, 0xfc614b80, 0x2a3db42b, 0x00ba00b1,
  44     0xbea8d943, 0xdace9ab2, 0x9536daea, 0x0074defb
  45 );
  46 #  else
  47 #    error No known generator for the specified exhaustive test group order.
  48 #  endif
  49 #else
  50 /** Generator for secp256k1, value 'g' defined in
  51  *  "Standards for Efficient Cryptography" (SEC2) 2.7.1.
  52  */
  53 static const secp256k1_ge secp256k1_ge_const_g = SECP256K1_GE_CONST(
  54     0x79BE667EUL, 0xF9DCBBACUL, 0x55A06295UL, 0xCE870B07UL,
  55     0x029BFCDBUL, 0x2DCE28D9UL, 0x59F2815BUL, 0x16F81798UL,
  56     0x483ADA77UL, 0x26A3C465UL, 0x5DA4FBFCUL, 0x0E1108A8UL,
  57     0xFD17B448UL, 0xA6855419UL, 0x9C47D08FUL, 0xFB10D4B8UL
  58 );
  59
  60 static const secp256k1_fe secp256k1_fe_const_b = SECP256K1_FE_CONST(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 7);
  61 #endif
  62
  63 static void secp256k1_ge_set_gej_zinv(secp256k1_ge *r, const secp256k1_gej *a, const secp256k1_fe *zi) {
  64     secp256k1_fe zi2;
  65     secp256k1_fe zi3;
  66     secp256k1_fe_sqr(&zi2, zi);
  67     secp256k1_fe_mul(&zi3, &zi2, zi);
  68     secp256k1_fe_mul(&r->x, &a->x, &zi2);
  69     secp256k1_fe_mul(&r->y, &a->y, &zi3);
  70     r->infinity = a->infinity;
  71 }
  72
  73 static void secp256k1_ge_set_xy(secp256k1_ge *r, const secp256k1_fe *x, const secp256k1_fe *y) {
  74     r->infinity = 0;
  75     r->x = *x;
  76     r->y = *y;
  77 }
  78
  79 static int secp256k1_ge_is_infinity(const secp256k1_ge *a) {
  80     return a->infinity;
  81 }
  82
  83 static void secp256k1_ge_neg(secp256k1_ge *r, const secp256k1_ge *a) {
  84     *r = *a;
  85     secp256k1_fe_normalize_weak(&r->y);
  86     secp256k1_fe_negate(&r->y, &r->y, 1);
  87 }
  88
  89 static void secp256k1_ge_set_gej(secp256k1_ge *r, secp256k1_gej *a) {
  90     secp256k1_fe z2, z3;
  91     r->infinity = a->infinity;
  92     secp256k1_fe_inv(&a->z, &a->z);
  93     secp256k1_fe_sqr(&z2, &a->z);
  94     secp256k1_fe_mul(&z3, &a->z, &z2);
  95     secp256k1_fe_mul(&a->x, &a->x, &z2);
  96     secp256k1_fe_mul(&a->y, &a->y, &z3);
  97     secp256k1_fe_set_int(&a->z, 1);
  98     r->x = a->x;
  99     r->y = a->y;
 100 }
 101
 102 static void secp256k1_ge_set_gej_var(secp256k1_ge *r, secp256k1_gej *a) {
 103     secp256k1_fe z2, z3;
 104     r->infinity = a->infinity;
 105     if (a->infinity) {
 106         return;
 107     }
 108     secp256k1_fe_inv_var(&a->z, &a->z);
 109     secp256k1_fe_sqr(&z2, &a->z);
 110     secp256k1_fe_mul(&z3, &a->z, &z2);
 111     secp256k1_fe_mul(&a->x, &a->x, &z2);
 112     secp256k1_fe_mul(&a->y, &a->y, &z3);
 113     secp256k1_fe_set_int(&a->z, 1);
 114     r->x = a->x;
 115     r->y = a->y;
 116 }
 117
 118 static void secp256k1_ge_set_all_gej_var(secp256k1_ge *r, const secp256k1_gej *a, size_t len) {
 119     secp256k1_fe u;
 120     size_t i;
 121     size_t last_i = SIZE_MAX;
 122
 123     for (i = 0; i < len; i++) {
 124         if (!a[i].infinity) {
 125             /* Use destination's x coordinates as scratch space */
 126             if (last_i == SIZE_MAX) {
 127                 r[i].x = a[i].z;
 128             } else {
 129                 secp256k1_fe_mul(&r[i].x, &r[last_i].x, &a[i].z);
 130             }
 131             last_i = i;
 132         }
 133     }
 134     if (last_i == SIZE_MAX) {
 135         return;
 136     }
 137     secp256k1_fe_inv_var(&u, &r[last_i].x);
 138
 139     i = last_i;
 140     while (i > 0) {
 141         i--;
 142         if (!a[i].infinity) {
 143             secp256k1_fe_mul(&r[last_i].x, &r[i].x, &u);
 144             secp256k1_fe_mul(&u, &u, &a[last_i].z);
 145             last_i = i;
 146         }
 147     }
 148     VERIFY_CHECK(!a[last_i].infinity);
 149     r[last_i].x = u;
 150
 151     for (i = 0; i < len; i++) {
 152         r[i].infinity = a[i].infinity;
 153         if (!a[i].infinity) {
 154             secp256k1_ge_set_gej_zinv(&r[i], &a[i], &r[i].x);
 155         }
 156     }
 157 }
 158
 159 static void secp256k1_ge_globalz_set_table_gej(size_t len, secp256k1_ge *r, secp256k1_fe *globalz, const secp256k1_gej *a, const secp256k1_fe *zr) {
 160     size_t i = len - 1;
 161     secp256k1_fe zs;
 162
 163     if (len > 0) {
 164         /* The z of the final point gives us the "global Z" for the table. */
 165         r[i].x = a[i].x;
 166         r[i].y = a[i].y;
 167         /* Ensure all y values are in weak normal form for fast negation of points */
 168         secp256k1_fe_normalize_weak(&r[i].y);
 169         *globalz = a[i].z;
 170         r[i].infinity = 0;
 171         zs = zr[i];
 172
 173         /* Work our way backwards, using the z-ratios to scale the x/y values. */
 174         while (i > 0) {
 175             if (i != len - 1) {
 176                 secp256k1_fe_mul(&zs, &zs, &zr[i]);
 177             }
 178             i--;
 179             secp256k1_ge_set_gej_zinv(&r[i], &a[i], &zs);
 180         }
 181     }
 182 }
 183
 184 static void secp256k1_gej_set_infinity(secp256k1_gej *r) {
 185     r->infinity = 1;
 186     secp256k1_fe_clear(&r->x);
 187     secp256k1_fe_clear(&r->y);
 188     secp256k1_fe_clear(&r->z);
 189 }
 190
 191 static void secp256k1_ge_set_infinity(secp256k1_ge *r) {
 192     r->infinity = 1;
 193     secp256k1_fe_clear(&r->x);
 194     secp256k1_fe_clear(&r->y);
 195 }
 196
 197 static void secp256k1_gej_clear(secp256k1_gej *r) {
 198     r->infinity = 0;
 199     secp256k1_fe_clear(&r->x);
 200     secp256k1_fe_clear(&r->y);
 201     secp256k1_fe_clear(&r->z);
 202 }
 203
 204 static void secp256k1_ge_clear(secp256k1_ge *r) {
 205     r->infinity = 0;
 206     secp256k1_fe_clear(&r->x);
 207     secp256k1_fe_clear(&r->y);
 208 }
 209
 210 static int secp256k1_ge_set_xquad(secp256k1_ge *r, const secp256k1_fe *x) {
 211     secp256k1_fe x2, x3;
 212     r->x = *x;
 213     secp256k1_fe_sqr(&x2, x);
 214     secp256k1_fe_mul(&x3, x, &x2);
 215     r->infinity = 0;
 216     secp256k1_fe_add(&x3, &secp256k1_fe_const_b);
 217     return secp256k1_fe_sqrt(&r->y, &x3);
 218 }
 219
 220 static int secp256k1_ge_set_xo_var(secp256k1_ge *r, const secp256k1_fe *x, int odd) {
 221     if (!secp256k1_ge_set_xquad(r, x)) {
 222         return 0;
 223     }
 224     secp256k1_fe_normalize_var(&r->y);
 225     if (secp256k1_fe_is_odd(&r->y) != odd) {
 226         secp256k1_fe_negate(&r->y, &r->y, 1);
 227     }
 228     return 1;
 229
 230 }
 231
 232 static void secp256k1_gej_set_ge(secp256k1_gej *r, const secp256k1_ge *a) {
 233    r->infinity = a->infinity;
 234    r->x = a->x;
 235    r->y = a->y;
 236    secp256k1_fe_set_int(&r->z, 1);
 237 }
 238
 239 static int secp256k1_gej_eq_x_var(const secp256k1_fe *x, const secp256k1_gej *a) {
 240     secp256k1_fe r, r2;
 241     VERIFY_CHECK(!a->infinity);
 242     secp256k1_fe_sqr(&r, &a->z); secp256k1_fe_mul(&r, &r, x);
 243     r2 = a->x; secp256k1_fe_normalize_weak(&r2);
 244     return secp256k1_fe_equal_var(&r, &r2);
 245 }
 246
 247 static void secp256k1_gej_neg(secp256k1_gej *r, const secp256k1_gej *a) {
 248     r->infinity = a->infinity;
 249     r->x = a->x;
 250     r->y = a->y;
 251     r->z = a->z;
 252     secp256k1_fe_normalize_weak(&r->y);
 253     secp256k1_fe_negate(&r->y, &r->y, 1);
 254 }
 255
 256 static int secp256k1_gej_is_infinity(const secp256k1_gej *a) {
 257     return a->infinity;
 258 }
 259
 260 static int secp256k1_ge_is_valid_var(const secp256k1_ge *a) {
 261     secp256k1_fe y2, x3;
 262     if (a->infinity) {
 263         return 0;
 264     }
 265     /* y^2 = x^3 + 7 */
 266     secp256k1_fe_sqr(&y2, &a->y);
 267     secp256k1_fe_sqr(&x3, &a->x); secp256k1_fe_mul(&x3, &x3, &a->x);
 268     secp256k1_fe_add(&x3, &secp256k1_fe_const_b);
 269     secp256k1_fe_normalize_weak(&x3);
 270     return secp256k1_fe_equal_var(&y2, &x3);
 271 }
 272
 273 static SECP256K1_INLINE void secp256k1_gej_double(secp256k1_gej *r, const secp256k1_gej *a) {
 274     /* Operations: 3 mul, 4 sqr, 0 normalize, 12 mul_int/add/negate.
 275      *
 276      * Note that there is an implementation described at
 277      *     https://hyperelliptic.org/EFD/g1p/auto-shortw-jacobian-0.html#doubling-dbl-2009-l
 278      * which trades a multiply for a square, but in practice this is actually slower,
 279      * mainly because it requires more normalizations.
 280      */
 281     secp256k1_fe t1,t2,t3,t4;
 282
 283     r->infinity = a->infinity;
 284
 285     secp256k1_fe_mul(&r->z, &a->z, &a->y);
 286     secp256k1_fe_mul_int(&r->z, 2);       /* Z' = 2*Y*Z (2) */
 287     secp256k1_fe_sqr(&t1, &a->x);
 288     secp256k1_fe_mul_int(&t1, 3);         /* T1 = 3*X^2 (3) */
 289     secp256k1_fe_sqr(&t2, &t1);           /* T2 = 9*X^4 (1) */
 290     secp256k1_fe_sqr(&t3, &a->y);
 291     secp256k1_fe_mul_int(&t3, 2);         /* T3 = 2*Y^2 (2) */
 292     secp256k1_fe_sqr(&t4, &t3);
 293     secp256k1_fe_mul_int(&t4, 2);         /* T4 = 8*Y^4 (2) */
 294     secp256k1_fe_mul(&t3, &t3, &a->x);    /* T3 = 2*X*Y^2 (1) */
 295     r->x = t3;
 296     secp256k1_fe_mul_int(&r->x, 4);       /* X' = 8*X*Y^2 (4) */
 297     secp256k1_fe_negate(&r->x, &r->x, 4); /* X' = -8*X*Y^2 (5) */
 298     secp256k1_fe_add(&r->x, &t2);         /* X' = 9*X^4 - 8*X*Y^2 (6) */
 299     secp256k1_fe_negate(&t2, &t2, 1);     /* T2 = -9*X^4 (2) */
 300     secp256k1_fe_mul_int(&t3, 6);         /* T3 = 12*X*Y^2 (6) */
 301     secp256k1_fe_add(&t3, &t2);           /* T3 = 12*X*Y^2 - 9*X^4 (8) */
 302     secp256k1_fe_mul(&r->y, &t1, &t3);    /* Y' = 36*X^3*Y^2 - 27*X^6 (1) */
 303     secp256k1_fe_negate(&t2, &t4, 2);     /* T2 = -8*Y^4 (3) */
 304     secp256k1_fe_add(&r->y, &t2);         /* Y' = 36*X^3*Y^2 - 27*X^6 - 8*Y^4 (4) */
 305 }
 306
 307 static void secp256k1_gej_double_var(secp256k1_gej *r, const secp256k1_gej *a, secp256k1_fe *rzr) {
 308     /** For secp256k1, 2Q is infinity if and only if Q is infinity. This is because if 2Q = infinity,
 309      *  Q must equal -Q, or that Q.y == -(Q.y), or Q.y is 0. For a point on y^2 = x^3 + 7 to have
 310      *  y=0, x^3 must be -7 mod p. However, -7 has no cube root mod p.
 311      *
 312      *  Having said this, if this function receives a point on a sextic twist, e.g. by
 313      *  a fault attack, it is possible for y to be 0. This happens for y^2 = x^3 + 6,
 314      *  since -6 does have a cube root mod p. For this point, this function will not set
 315      *  the infinity flag even though the point doubles to infinity, and the result
 316      *  point will be gibberish (z = 0 but infinity = 0).
 317      */
 318     if (a->infinity) {
 319         r->infinity = 1;
 320         if (rzr != NULL) {
 321             secp256k1_fe_set_int(rzr, 1);
 322         }
 323         return;
 324     }
 325
 326     if (rzr != NULL) {
 327         *rzr = a->y;
 328         secp256k1_fe_normalize_weak(rzr);
 329         secp256k1_fe_mul_int(rzr, 2);
 330     }
 331
 332     secp256k1_gej_double(r, a);
 333 }
 334
 335 static void secp256k1_gej_add_var(secp256k1_gej *r, const secp256k1_gej *a, const secp256k1_gej *b, secp256k1_fe *rzr) {
 336     /* Operations: 12 mul, 4 sqr, 2 normalize, 12 mul_int/add/negate */
 337     secp256k1_fe z22, z12, u1, u2, s1, s2, h, i, i2, h2, h3, t;
 338
 339     if (a->infinity) {
 340         VERIFY_CHECK(rzr == NULL);
 341         *r = *b;
 342         return;
 343     }
 344
 345     if (b->infinity) {
 346         if (rzr != NULL) {
 347             secp256k1_fe_set_int(rzr, 1);
 348         }
 349         *r = *a;
 350         return;
 351     }
 352
 353     r->infinity = 0;
 354     secp256k1_fe_sqr(&z22, &b->z);
 355     secp256k1_fe_sqr(&z12, &a->z);
 356     secp256k1_fe_mul(&u1, &a->x, &z22);
 357     secp256k1_fe_mul(&u2, &b->x, &z12);
 358     secp256k1_fe_mul(&s1, &a->y, &z22); secp256k1_fe_mul(&s1, &s1, &b->z);
 359     secp256k1_fe_mul(&s2, &b->y, &z12); secp256k1_fe_mul(&s2, &s2, &a->z);
 360     secp256k1_fe_negate(&h, &u1, 1); secp256k1_fe_add(&h, &u2);
 361     secp256k1_fe_negate(&i, &s1, 1); secp256k1_fe_add(&i, &s2);
 362     if (secp256k1_fe_normalizes_to_zero_var(&h)) {
 363         if (secp256k1_fe_normalizes_to_zero_var(&i)) {
 364             secp256k1_gej_double_var(r, a, rzr);
 365         } else {
 366             if (rzr != NULL) {
 367                 secp256k1_fe_set_int(rzr, 0);
 368             }
 369             secp256k1_gej_set_infinity(r);
 370         }
 371         return;
 372     }
 373     secp256k1_fe_sqr(&i2, &i);
 374     secp256k1_fe_sqr(&h2, &h);
 375     secp256k1_fe_mul(&h3, &h, &h2);
 376     secp256k1_fe_mul(&h, &h, &b->z);
 377     if (rzr != NULL) {
 378         *rzr = h;
 379     }
 380     secp256k1_fe_mul(&r->z, &a->z, &h);
 381     secp256k1_fe_mul(&t, &u1, &h2);
 382     r->x = t; secp256k1_fe_mul_int(&r->x, 2); secp256k1_fe_add(&r->x, &h3); secp256k1_fe_negate(&r->x, &r->x, 3); secp256k1_fe_add(&r->x, &i2);
 383     secp256k1_fe_negate(&r->y, &r->x, 5); secp256k1_fe_add(&r->y, &t); secp256k1_fe_mul(&r->y, &r->y, &i);
 384     secp256k1_fe_mul(&h3, &h3, &s1); secp256k1_fe_negate(&h3, &h3, 1);
 385     secp256k1_fe_add(&r->y, &h3);
 386 }
 387
 388 static void secp256k1_gej_add_ge_var(secp256k1_gej *r, const secp256k1_gej *a, const secp256k1_ge *b, secp256k1_fe *rzr) {
 389     /* 8 mul, 3 sqr, 4 normalize, 12 mul_int/add/negate */
 390     secp256k1_fe z12, u1, u2, s1, s2, h, i, i2, h2, h3, t;
 391     if (a->infinity) {
 392         VERIFY_CHECK(rzr == NULL);
 393         secp256k1_gej_set_ge(r, b);
 394         return;
 395     }
 396     if (b->infinity) {
 397         if (rzr != NULL) {
 398             secp256k1_fe_set_int(rzr, 1);
 399         }
 400         *r = *a;
 401         return;
 402     }
 403     r->infinity = 0;
 404
 405     secp256k1_fe_sqr(&z12, &a->z);
 406     u1 = a->x; secp256k1_fe_normalize_weak(&u1);
 407     secp256k1_fe_mul(&u2, &b->x, &z12);
 408     s1 = a->y; secp256k1_fe_normalize_weak(&s1);
 409     secp256k1_fe_mul(&s2, &b->y, &z12); secp256k1_fe_mul(&s2, &s2, &a->z);
 410     secp256k1_fe_negate(&h, &u1, 1); secp256k1_fe_add(&h, &u2);
 411     secp256k1_fe_negate(&i, &s1, 1); secp256k1_fe_add(&i, &s2);
 412     if (secp256k1_fe_normalizes_to_zero_var(&h)) {
 413         if (secp256k1_fe_normalizes_to_zero_var(&i)) {
 414             secp256k1_gej_double_var(r, a, rzr);
 415         } else {
 416             if (rzr != NULL) {
 417                 secp256k1_fe_set_int(rzr, 0);
 418             }
 419             secp256k1_gej_set_infinity(r);
 420         }
 421         return;
 422     }
 423     secp256k1_fe_sqr(&i2, &i);
 424     secp256k1_fe_sqr(&h2, &h);
 425     secp256k1_fe_mul(&h3, &h, &h2);
 426     if (rzr != NULL) {
 427         *rzr = h;
 428     }
 429     secp256k1_fe_mul(&r->z, &a->z, &h);
 430     secp256k1_fe_mul(&t, &u1, &h2);
 431     r->x = t; secp256k1_fe_mul_int(&r->x, 2); secp256k1_fe_add(&r->x, &h3); secp256k1_fe_negate(&r->x, &r->x, 3); secp256k1_fe_add(&r->x, &i2);
 432     secp256k1_fe_negate(&r->y, &r->x, 5); secp256k1_fe_add(&r->y, &t); secp256k1_fe_mul(&r->y, &r->y, &i);
 433     secp256k1_fe_mul(&h3, &h3, &s1); secp256k1_fe_negate(&h3, &h3, 1);
 434     secp256k1_fe_add(&r->y, &h3);
 435 }
 436
 437 static void secp256k1_gej_add_zinv_var(secp256k1_gej *r, const secp256k1_gej *a, const secp256k1_ge *b, const secp256k1_fe *bzinv) {
 438     /* 9 mul, 3 sqr, 4 normalize, 12 mul_int/add/negate */
 439     secp256k1_fe az, z12, u1, u2, s1, s2, h, i, i2, h2, h3, t;
 440
 441     if (b->infinity) {
 442         *r = *a;
 443         return;
 444     }
 445     if (a->infinity) {
 446         secp256k1_fe bzinv2, bzinv3;
 447         r->infinity = b->infinity;
 448         secp256k1_fe_sqr(&bzinv2, bzinv);
 449         secp256k1_fe_mul(&bzinv3, &bzinv2, bzinv);
 450         secp256k1_fe_mul(&r->x, &b->x, &bzinv2);
 451         secp256k1_fe_mul(&r->y, &b->y, &bzinv3);
 452         secp256k1_fe_set_int(&r->z, 1);
 453         return;
 454     }
 455     r->infinity = 0;
 456
 457     /** We need to calculate (rx,ry,rz) = (ax,ay,az) + (bx,by,1/bzinv). Due to
 458      *  secp256k1's isomorphism we can multiply the Z coordinates on both sides
 459      *  by bzinv, and get: (rx,ry,rz*bzinv) = (ax,ay,az*bzinv) + (bx,by,1).
 460      *  This means that (rx,ry,rz) can be calculated as
 461      *  (ax,ay,az*bzinv) + (bx,by,1), when not applying the bzinv factor to rz.
 462      *  The variable az below holds the modified Z coordinate for a, which is used
 463      *  for the computation of rx and ry, but not for rz.
 464      */
 465     secp256k1_fe_mul(&az, &a->z, bzinv);
 466
 467     secp256k1_fe_sqr(&z12, &az);
 468     u1 = a->x; secp256k1_fe_normalize_weak(&u1);
 469     secp256k1_fe_mul(&u2, &b->x, &z12);
 470     s1 = a->y; secp256k1_fe_normalize_weak(&s1);
 471     secp256k1_fe_mul(&s2, &b->y, &z12); secp256k1_fe_mul(&s2, &s2, &az);
 472     secp256k1_fe_negate(&h, &u1, 1); secp256k1_fe_add(&h, &u2);
 473     secp256k1_fe_negate(&i, &s1, 1); secp256k1_fe_add(&i, &s2);
 474     if (secp256k1_fe_normalizes_to_zero_var(&h)) {
 475         if (secp256k1_fe_normalizes_to_zero_var(&i)) {
 476             secp256k1_gej_double_var(r, a, NULL);
 477         } else {
 478             secp256k1_gej_set_infinity(r);
 479         }
 480         return;
 481     }
 482     secp256k1_fe_sqr(&i2, &i);
 483     secp256k1_fe_sqr(&h2, &h);
 484     secp256k1_fe_mul(&h3, &h, &h2);
 485     r->z = a->z; secp256k1_fe_mul(&r->z, &r->z, &h);
 486     secp256k1_fe_mul(&t, &u1, &h2);
 487     r->x = t; secp256k1_fe_mul_int(&r->x, 2); secp256k1_fe_add(&r->x, &h3); secp256k1_fe_negate(&r->x, &r->x, 3); secp256k1_fe_add(&r->x, &i2);
 488     secp256k1_fe_negate(&r->y, &r->x, 5); secp256k1_fe_add(&r->y, &t); secp256k1_fe_mul(&r->y, &r->y, &i);
 489     secp256k1_fe_mul(&h3, &h3, &s1); secp256k1_fe_negate(&h3, &h3, 1);
 490     secp256k1_fe_add(&r->y, &h3);
 491 }
 492
 493
 494 static void secp256k1_gej_add_ge(secp256k1_gej *r, const secp256k1_gej *a, const secp256k1_ge *b) {
 495     /* Operations: 7 mul, 5 sqr, 4 normalize, 21 mul_int/add/negate/cmov */
 496     static const secp256k1_fe fe_1 = SECP256K1_FE_CONST(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1);
 497     secp256k1_fe zz, u1, u2, s1, s2, t, tt, m, n, q, rr;
 498     secp256k1_fe m_alt, rr_alt;
 499     int infinity, degenerate;
 500     VERIFY_CHECK(!b->infinity);
 501     VERIFY_CHECK(a->infinity == 0 || a->infinity == 1);
 502
 503     /** In:
 504      *    Eric Brier and Marc Joye, Weierstrass Elliptic Curves and Side-Channel Attacks.
 505      *    In D. Naccache and P. Paillier, Eds., Public Key Cryptography, vol. 2274 of Lecture Notes in Computer Science, pages 335-345. Springer-Verlag, 2002.
 506      *  we find as solution for a unified addition/doubling formula:
 507      *    lambda = ((x1 + x2)^2 - x1 * x2 + a) / (y1 + y2), with a = 0 for secp256k1's curve equation.
 508      *    x3 = lambda^2 - (x1 + x2)
 509      *    2*y3 = lambda * (x1 + x2 - 2 * x3) - (y1 + y2).
 510      *
 511      *  Substituting x_i = Xi / Zi^2 and yi = Yi / Zi^3, for i=1,2,3, gives:
 512      *    U1 = X1*Z2^2, U2 = X2*Z1^2
 513      *    S1 = Y1*Z2^3, S2 = Y2*Z1^3
 514      *    Z = Z1*Z2
 515      *    T = U1+U2
 516      *    M = S1+S2
 517      *    Q = T*M^2
 518      *    R = T^2-U1*U2
 519      *    X3 = 4*(R^2-Q)
 520      *    Y3 = 4*(R*(3*Q-2*R^2)-M^4)
 521      *    Z3 = 2*M*Z
 522      *  (Note that the paper uses xi = Xi / Zi and yi = Yi / Zi instead.)
 523      *
 524      *  This formula has the benefit of being the same for both addition
 525      *  of distinct points and doubling. However, it breaks down in the
 526      *  case that either point is infinity, or that y1 = -y2. We handle
 527      *  these cases in the following ways:
 528      *
 529      *    - If b is infinity we simply bail by means of a VERIFY_CHECK.
 530      *
 531      *    - If a is infinity, we detect this, and at the end of the
 532      *      computation replace the result (which will be meaningless,
 533      *      but we compute to be constant-time) with b.x : b.y : 1.
 534      *
 535      *    - If a = -b, we have y1 = -y2, which is a degenerate case.
 536      *      But here the answer is infinity, so we simply set the
 537      *      infinity flag of the result, overriding the computed values
 538      *      without even needing to cmov.
 539      *
 540      *    - If y1 = -y2 but x1 != x2, which does occur thanks to certain
 541      *      properties of our curve (specifically, 1 has nontrivial cube
 542      *      roots in our field, and the curve equation has no x coefficient)
 543      *      then the answer is not infinity but also not given by the above
 544      *      equation. In this case, we cmov in place an alternate expression
 545      *      for lambda. Specifically (y1 - y2)/(x1 - x2). Where both these
 546      *      expressions for lambda are defined, they are equal, and can be
 547      *      obtained from each other by multiplication by (y1 + y2)/(y1 + y2)
 548      *      then substitution of x^3 + 7 for y^2 (using the curve equation).
 549      *      For all pairs of nonzero points (a, b) at least one is defined,
 550      *      so this covers everything.
 551      */
 552
 553     secp256k1_fe_sqr(&zz, &a->z);                       /* z = Z1^2 */
 554     u1 = a->x; secp256k1_fe_normalize_weak(&u1);        /* u1 = U1 = X1*Z2^2 (1) */
 555     secp256k1_fe_mul(&u2, &b->x, &zz);                  /* u2 = U2 = X2*Z1^2 (1) */
 556     s1 = a->y; secp256k1_fe_normalize_weak(&s1);        /* s1 = S1 = Y1*Z2^3 (1) */
 557     secp256k1_fe_mul(&s2, &b->y, &zz);                  /* s2 = Y2*Z1^2 (1) */
 558     secp256k1_fe_mul(&s2, &s2, &a->z);                  /* s2 = S2 = Y2*Z1^3 (1) */
 559     t = u1; secp256k1_fe_add(&t, &u2);                  /* t = T = U1+U2 (2) */
 560     m = s1; secp256k1_fe_add(&m, &s2);                  /* m = M = S1+S2 (2) */
 561     secp256k1_fe_sqr(&rr, &t);                          /* rr = T^2 (1) */
 562     secp256k1_fe_negate(&m_alt, &u2, 1);                /* Malt = -X2*Z1^2 */
 563     secp256k1_fe_mul(&tt, &u1, &m_alt);                 /* tt = -U1*U2 (2) */
 564     secp256k1_fe_add(&rr, &tt);                         /* rr = R = T^2-U1*U2 (3) */
 565     /** If lambda = R/M = 0/0 we have a problem (except in the "trivial"
 566      *  case that Z = z1z2 = 0, and this is special-cased later on). */
 567     degenerate = secp256k1_fe_normalizes_to_zero(&m) &
 568                  secp256k1_fe_normalizes_to_zero(&rr);
 569     /* This only occurs when y1 == -y2 and x1^3 == x2^3, but x1 != x2.
 570      * This means either x1 == beta*x2 or beta*x1 == x2, where beta is
 571      * a nontrivial cube root of one. In either case, an alternate
 572      * non-indeterminate expression for lambda is (y1 - y2)/(x1 - x2),
 573      * so we set R/M equal to this. */
 574     rr_alt = s1;
 575     secp256k1_fe_mul_int(&rr_alt, 2);       /* rr = Y1*Z2^3 - Y2*Z1^3 (2) */
 576     secp256k1_fe_add(&m_alt, &u1);          /* Malt = X1*Z2^2 - X2*Z1^2 */
 577
 578     secp256k1_fe_cmov(&rr_alt, &rr, !degenerate);
 579     secp256k1_fe_cmov(&m_alt, &m, !degenerate);
 580     /* Now Ralt / Malt = lambda and is guaranteed not to be 0/0.
 581      * From here on out Ralt and Malt represent the numerator
 582      * and denominator of lambda; R and M represent the explicit
 583      * expressions x1^2 + x2^2 + x1x2 and y1 + y2. */
 584     secp256k1_fe_sqr(&n, &m_alt);                       /* n = Malt^2 (1) */
 585     secp256k1_fe_mul(&q, &n, &t);                       /* q = Q = T*Malt^2 (1) */
 586     /* These two lines use the observation that either M == Malt or M == 0,
 587      * so M^3 * Malt is either Malt^4 (which is computed by squaring), or
 588      * zero (which is "computed" by cmov). So the cost is one squaring
 589      * versus two multiplications. */
 590     secp256k1_fe_sqr(&n, &n);
 591     secp256k1_fe_cmov(&n, &m, degenerate);              /* n = M^3 * Malt (2) */
 592     secp256k1_fe_sqr(&t, &rr_alt);                      /* t = Ralt^2 (1) */
 593     secp256k1_fe_mul(&r->z, &a->z, &m_alt);             /* r->z = Malt*Z (1) */
 594     infinity = secp256k1_fe_normalizes_to_zero(&r->z) * (1 - a->infinity);
 595     secp256k1_fe_mul_int(&r->z, 2);                     /* r->z = Z3 = 2*Malt*Z (2) */
 596     secp256k1_fe_negate(&q, &q, 1);                     /* q = -Q (2) */
 597     secp256k1_fe_add(&t, &q);                           /* t = Ralt^2-Q (3) */
 598     secp256k1_fe_normalize_weak(&t);
 599     r->x = t;                                           /* r->x = Ralt^2-Q (1) */
 600     secp256k1_fe_mul_int(&t, 2);                        /* t = 2*x3 (2) */
 601     secp256k1_fe_add(&t, &q);                           /* t = 2*x3 - Q: (4) */
 602     secp256k1_fe_mul(&t, &t, &rr_alt);                  /* t = Ralt*(2*x3 - Q) (1) */
 603     secp256k1_fe_add(&t, &n);                           /* t = Ralt*(2*x3 - Q) + M^3*Malt (3) */
 604     secp256k1_fe_negate(&r->y, &t, 3);                  /* r->y = Ralt*(Q - 2x3) - M^3*Malt (4) */
 605     secp256k1_fe_normalize_weak(&r->y);
 606     secp256k1_fe_mul_int(&r->x, 4);                     /* r->x = X3 = 4*(Ralt^2-Q) */
 607     secp256k1_fe_mul_int(&r->y, 4);                     /* r->y = Y3 = 4*Ralt*(Q - 2x3) - 4*M^3*Malt (4) */
 608
 609     /** In case a->infinity == 1, replace r with (b->x, b->y, 1). */
 610     secp256k1_fe_cmov(&r->x, &b->x, a->infinity);
 611     secp256k1_fe_cmov(&r->y, &b->y, a->infinity);
 612     secp256k1_fe_cmov(&r->z, &fe_1, a->infinity);
 613     r->infinity = infinity;
 614 }
 615
 616 static void secp256k1_gej_rescale(secp256k1_gej *r, const secp256k1_fe *s) {
 617     /* Operations: 4 mul, 1 sqr */
 618     secp256k1_fe zz;
 619     VERIFY_CHECK(!secp256k1_fe_is_zero(s));
 620     secp256k1_fe_sqr(&zz, s);
 621     secp256k1_fe_mul(&r->x, &r->x, &zz);                /* r->x *= s^2 */
 622     secp256k1_fe_mul(&r->y, &r->y, &zz);
 623     secp256k1_fe_mul(&r->y, &r->y, s);                  /* r->y *= s^3 */
 624     secp256k1_fe_mul(&r->z, &r->z, s);                  /* r->z *= s   */
 625 }
 626
 627 static void secp256k1_ge_to_storage(secp256k1_ge_storage *r, const secp256k1_ge *a) {
 628     secp256k1_fe x, y;
 629     VERIFY_CHECK(!a->infinity);
 630     x = a->x;
 631     secp256k1_fe_normalize(&x);
 632     y = a->y;
 633     secp256k1_fe_normalize(&y);
 634     secp256k1_fe_to_storage(&r->x, &x);
 635     secp256k1_fe_to_storage(&r->y, &y);
 636 }
 637
 638 static void secp256k1_ge_from_storage(secp256k1_ge *r, const secp256k1_ge_storage *a) {
 639     secp256k1_fe_from_storage(&r->x, &a->x);
 640     secp256k1_fe_from_storage(&r->y, &a->y);
 641     r->infinity = 0;
 642 }
 643
 644 static SECP256K1_INLINE void secp256k1_ge_storage_cmov(secp256k1_ge_storage *r, const secp256k1_ge_storage *a, int flag) {
 645     secp256k1_fe_storage_cmov(&r->x, &a->x, flag);
 646     secp256k1_fe_storage_cmov(&r->y, &a->y, flag);
 647 }
 648
 649 static void secp256k1_ge_mul_lambda(secp256k1_ge *r, const secp256k1_ge *a) {
 650     static const secp256k1_fe beta = SECP256K1_FE_CONST(
 651         0x7ae96a2bul, 0x657c0710ul, 0x6e64479eul, 0xac3434e9ul,
 652         0x9cf04975ul, 0x12f58995ul, 0xc1396c28ul, 0x719501eeul
 653     );
 654     *r = *a;
 655     secp256k1_fe_mul(&r->x, &r->x, &beta);
 656 }
 657
 658 static int secp256k1_gej_has_quad_y_var(const secp256k1_gej *a) {
 659     secp256k1_fe yz;
 660
 661     if (a->infinity) {
 662         return 0;
 663     }
 664
 665     /* We rely on the fact that the Jacobi symbol of 1 / a->z^3 is the same as
 666      * that of a->z. Thus a->y / a->z^3 is a quadratic residue iff a->y * a->z
 667        is */
 668     secp256k1_fe_mul(&yz, &a->y, &a->z);
 669     return secp256k1_fe_is_quad_var(&yz);
 670 }
 671
 672 static int secp256k1_ge_is_in_correct_subgroup(const secp256k1_ge* ge) {
 673 #ifdef EXHAUSTIVE_TEST_ORDER
 674     secp256k1_gej out;
 675     int i;
 676
 677     /* A very simple EC multiplication ladder that avoids a dependecy on ecmult. */
 678     secp256k1_gej_set_infinity(&out);
 679     for (i = 0; i < 32; ++i) {
 680         secp256k1_gej_double_var(&out, &out, NULL);
 681         if ((((uint32_t)EXHAUSTIVE_TEST_ORDER) >> (31 - i)) & 1) {
 682             secp256k1_gej_add_ge_var(&out, &out, ge, NULL);
 683         }
 684     }
 685     return secp256k1_gej_is_infinity(&out);
 686 #else
 687     (void)ge;
 688     /* The real secp256k1 group has cofactor 1, so the subgroup is the entire curve. */
 689     return 1;
 690 #endif
 691 }
 692
 693 #endif /* SECP256K1_GROUP_IMPL_H */